こけこっこのへや

■　こけこっこのへや～数学の疑問点～

僕がいまだに解決できない数学の疑問点

管理人が高校卒業間近になってもまだ抱えている数学の疑問点を列挙しました。

一部，少しだけ理解できたものも含んでいます。文章が変なので読みにくいです。

＃ 別に分からないまま一生が終わってもいいんですが・・（´Д｀;）

（１）すべての有理数が既約分数で表わせるのはなぜ？

（２）どんな自然数でも素因数分解したとき，1通りの形に定まるのはなぜ？

（３）0で割ると数学の世界においてどんな矛盾が生じるのだろうか？

　　0で割ることを認めた数学(というか演算方法)ってあるんでしょうか？

（４）背理法とは本当に正しいんでしょうか？

また，背理法を2重3重に重ねて使用した証明方法は正しいんでしょうか？

　　　背理法とははじめに仮定したモノ(世界)が数学的におかしいものであることを

前提として議論を進め，結果として矛盾を生じさせる証明方法だと思うんですが，

一度，矛盾したモノ(世界)にした場合，その矛盾した世界とは数学的に正しい

議論を行うことができる世界なんでしょうか？僕は，矛盾した世界にしたら，

その瞬間から，その世界は消滅してしまうか，はたまた，今まで使ってきた

数学の法律？が変質してしまうと思うんです。

つまり，背理法ではじめに作る「数学的に矛盾した世界」とは今までの数学の

世界とは「変質した世界」だから，その「変質した世界」において，既存の

数学の法律を使って議論することができるのだろうか？という疑問です。

もし，既存の数学の法律が完全に正しいならば，背理法ではじめに使う仮定，

つまり，「数学的におかしい世界」は始めから存在しないはずだと思います。

でも，背理法ではいったんその「数学的におかしい世界」の存在を認めてから

議論するので，既存の数学の法律をどこか変質させてから認めていることに

なると思います。

僕のイメージでは，背理法とは，存在しない世界の中で，既存の数学の法律

を使って議論を進める行為です。このイメージをどう修正したら良いのでしょうか？

まあ，簡単にいえば，僕がアメリカに旅行しているときに，

「僕は日本人だからここは日本だ」と言って，アメリカの法律に従おうと

しない行為に似ているイメージがあるのです。

そんな人は当然許されない(=存在できない)ですよね。

でももし，そういう人間の存在が許されたと仮定したら，そのときは，

アメリカの法律が変質して，日本の法律のもとだけに許されているんですよね。

素人っぽい表現ですみませんが，そういうイメージです。（´Д｀;）

以下の文章は「背理法が正しい」と分かった後で生じる疑問点です。

背理法を重ねて使用して「仮定の仮定の仮定の・・・仮定」で最終的に

　　　矛盾が生じた場合，どこの世界でのどこの世界に対する矛盾なのかを調べて，

　　　すべての組み合わせにおいて矛盾が生じなければ証明したことにはならないと

　　　思うんですが，はじめに仮定した世界と次以降に仮定した世界は集合として

　　　どういう風な包含関係になっているかも分からないし，その包含関係を調べる

唯一の手段も背理法しかないと思うので，どうしたら全体図を把握できるのでしょうか？

　　以下の文章は背理法に関するまた別の疑問点です。

背理法が正しくないと仮定した場合，その仮定の中の世界で

背理法を使えば，はじめに仮定した世界と必ず矛盾は生じますか？

（５）有理数と有理数の間には無限に有理数があるのに，どうして「数直線」上には

無理数が存在しているんでしょうか？

ひょっとしたら，その無理数は無限にある有理数のどこかと重なっているんじゃ

ないだろうか？という変な勘ぐりがあったりします。

（６）マスマティカで計算不可能な不定積分は，人間が計算しても本当に計算不可能なんでしょうか？

（７）現代の日本で高校生が学ぶ数学は，江戸時代の日本にはなかったと思うんですが，

一体どの国から輸入された数学なんでしょうか？

イギリス・フランスとかでしょうか？それとも中国？

素人っぽい表現ですみません。（１）～（７）の疑問点は受験には関係ないということで，

僕が今まであえて無視してきたモノなんですね・・。

別にどうでもいいことなんだけど，一応，卒業記念ということでカキコしてみますた。（´Д｀;）

(2006/02/25記)